دومين يادنامه علامه طباطبائى (فارسى) — الصفحة ٢٣٥
تعارضات نظريهء مجموعه‌ها
مجموعه‌ها باشد . عدد كاردينال مجموعهء توانى
S
يا بزرگتر از كاردينال
S
است و مجموعه‌هائى بيشتر از
S
دارد در صورتى كه فرض كرديم كه
S
مجموعه همهء مجموعه‌هاست و همه مجموعه‌ها عضو مجموعه
S
است .
3 - معماى راسل - در اوائل قرن بيستم برتراندراسل سعى كرد تا تعارضات كانتور و بورالى فورتى را حل كند ولى در حين يافتن حلّى براى اين دو معما ، خود تعارض ديگرى را كشف كرد كه به پارادكس راسل مشهور است و آن مجموعهء همه مجموعه‌هائى است كه عضو خود نيستند . مجموعه همه مجموعه‌هائى را كه عضو خود نيستند در نظر مىگيريم . مجموعهء
r
كه آن را مجموعهء راسل مىناميم چنين تعريف مىكنيم . براى هرچيزى
X , X
در صورتى عضو
r
است اگر و فقط اگر
X
عضو
X
نباشد :
براى هر
X
، ، فقط و فقط اگر
با قانون جايگزينى اگر به جاى
X
،
r
را بگذاريم ، بدست مىآوريم
اگر و فقط اگر
معنى اين قضيه منطقى اين است كه
r
فقط و فقط در صورتى مىتواند عضو خود باشد كه عضو خود نباشد و اين يك تناقض است .
اهميت پارادكس راسل در اين است كه در بيان آن فقط از دو مفهوم مجموعه و عضو مجموعه استفاده شده است و آن را نمىتوان به ابهام لفظى نسبت داد .
4 - معماى ريچارد - جولز ريچارد اين معما را در سال 1905 منتشر كرد . الفباى زبان انگليسى مجموعه‌اى است با 26 حرف . همه دنباله‌هاى متناهى 26 حرف الفباى انگليسى را ، با تعدادى از