دومين يادنامه علامه طباطبائى (فارسى) — الصفحة ٢٣٤
تعارضات نظريهء مجموعه‌ها
بوجود آمده است . حلّ اين تعارضات علماى منطق و رياضيات را به بحث‌هاى مفيدى كشانده است .
1 - تعارض بورالى فورتى
( Burali Forti )
معروف به معماى بزرگترين اردينال است . در نظريه مجموعه‌هاى كانتور براى هر مجموعه خوش ترتيبى مىتوان يك عدد اردينال تخصيص داد . اين اردينالها را مىتوان با يكديگر مقايسه كرد . از دو عدد اردينال يكى كوچكتر و ديگرى بزرگتر است . بعلاوه اگر مجموعه اردينالها را با اين رابطه ترتيب دهيم ، يك مجموعه خوش ترتيب است و اردينال آن بزرگتر از هريك از عضوهاى مجموعه است . فرض كنيم
O
مجموعهء همه اردينالها باشد . اين مجموعه خوش ترتيب است بنابراين داراى عدد اردينالى است كه آن را
W
مىناميم . از يك‌سو
W
عضو مجموعه
O
و از سوى ديگر
W
از هريك از عضوهاى
O
بزرگتر است .
2 - تعارض كانتور يكى ديگر از تعارضات نظريه مجموعه‌ها ، تعارضات بزرگترين كاردينال است كه به تعارض كانتور مشهور است .
هر مجموعه‌اى داراى يك عدد كاردينال است . اگر دو مجموعه
A
و
B
را در نظر بگيريم ، عدد كاردينال
A
كمتر از عدد كاردينال
B
است فقط و فقط اگر
A
هم‌ارز با يك زير مجموعه
B
بوده و
B
هم‌ارز با يك زير مجموعه
A
نباشد . يكى از قوانين نظريه مجموعه‌هاى كانتور اين است كه در هر مجموعه
A
، مجموعهء همه زير مجموعه‌هاى
A
كه آن را مجموعهء توانى
A
يا مىنامند با خود
A
هم‌ارز نيست ، بلكه
A
هم‌ارز با يك زير مجموعهء مجموعهء توانى
A
يا است . بنابراين عدد كاردينال
A
از عدد كاردينال مجموعهء توانى
A
كمتر است . فرض كنيم كه
S
مجموعهء همهء