هيئت و نجوم اسلامى ( فارسي ) — الجزء ٣، الصفحة ٤٢٩
خيام و نظريهء هندسى معادلات درجهء سوم
بر روى ربع دايره‌اى نقطهء
G
را چنان بيابيد كه داشته باشيم
CD / CH - CH / HB
اين مسئله از راه تحليل به ترسيم مثلث قائم‌الزاويهء
ASC
منجر مىشود به‌طورى كه
BD ) AB G BD - AC
ارتفاع وارد از رأس بر ضلع است ) .
با فرض
AD - 10
و
BD - x
، ترسيم اين مثلث معادل مىشود با حل معادلهء
x 3 G 200 x - 20 x 2 G 2000
كه معادله‌اى است از درجهء سوم . خيام در رسالهء فى قسمة ربع الدائرة به تاريخچهء مسائل هندسىاى كه حل آنها به معادلات درجهء سوم مىانجامد ، مىپردازد . از ميان مسائلى كه خيام ذكر مىكند يكى مسئلهء ارشميدس است ، يعنى تقسيم كره‌اى به دو قسمت ، به‌طورى كه حجم قسمت بزرگ‌تر
n
برابر حجم قسمت كوچك‌تر باشد . ارشميدس در كتاب كره و استوانه خود اين مسئله را ، از راه تحليل ، به مسئلهء زير تبديل مىكند : دو خط
AB
و
BC
به اندازهء معلوم و بر يك استقامت داده شده‌اند . نسبت
BC
بر
CE
معلوم است .
بنابراين
CE
، چنان كه در معطيات [ اقليدس ] ثابت شده ، معلوم است . نقطهء
D
را طورى به دست مىآوريم كه نسبت
CD
بر
CE
مساوى با نسبت
AB 2
بر
AD
باشد .
خيام پس از آنكه نخستين طبقه‌بندى خود از معادلات درجهء سوم را عرضه مىكند ، مىگويد كه « رياضيدانان متقدم كه به زبان ما نمىنوشته‌اند » ( يعنى رياضيدانان يونانى ) به هيچ‌يك از اين معادلات پى نبرده‌اند و يا اگر در اين‌باره چيزى نوشته بوده‌اند به دست ما نرسيده است . امّا در ميان « همزبانان ما » ( يعنى رياضيدانان دورهء اسلامى كه به عربى مىنوشته‌اند ) « ماهانى مهندس » ، نخستين كسى است كه در كوشش براى حل مسئلهء ارشميدس به يكى از اين نوع معادلات رسيده بوده است . به گفتهء خيام ماهانى مسئلهء ارشميدس را به معادله‌اى به‌صورت
x 3 - ax 2 G b
تبديل كرد و چون از حل اين معادله عاجز ماند به ممتنع