تاريخ ايران ( دوره تيموريان ) ( فارسي ) — الصفحة ٢٨٨
جدولهاى مثلثات
صورت زير ارائه داد :
Sin 3 a - 3 Sina - 4 Sina 3 a .
محاسبه سينوس سه درجه ( چنانچه انجام گرفت ) از راه كنترل توابع زاويه‌هاى بزرگتر ( نظير 0 30 ) كه پيدا كردن آنها ساده بود ، چندان مشكل نمىنمود . گذاشتن
X - Sin I 0
و
q - Sin 3 0
رواج يافت . پس ( 2 ) به صورت زير درآمد :
X - q G 4 x 3 / 3 ,
( 3 )
كه مسأله را به درون پيدا كردن عدد
X
مىكشاند تا معادله مكعبى ( 3 ) را حل كند . نخستين رقم شصت شصتى اين ريشه پيشتر از روى جدولهاى پيشين شناخته شده بود . حال اين رقم را
d 1
مىناميم و آن را نخستين تقريبى براى ريشه مىگيريم و مىگوييم
X 1 - d 1
و سعى مىكنيم آن را با جانشين‌سازى با ( 3 ) دربياوريم . از نظر نمادى
f ( x ) - ( q G 4 x 3 ) 3 ,
قرار مىدهيم و به ترتيب زير محاسبه مىكنيم :
X 1 - f ( x 1 ) - r 2 d 2 ,
در جايى كه
d 2
با دور انداختن هم ارقام شصت شصتى از
r 2
شكل مىگيرد ، اولى را آزاد مىسازد . حال
d 2
را به صورت صحيح
d 1
در نظر مىگيريم و به هردو مىافزاييم تا تقريب بهترى براى ريشه به دست آوريم يعنى
X 2 - X 1 G d 2 ,
قرار مىدهيم و جريان بالا را براى پيدا كردن يك
d 3 .
تكرار مىكنيم . به صورت زير درمىآيد :
X 2 - f ( X 2 ) - r 3 d 3
و سپس چرخه عمل تكرار مىشود . به‌طور كلى :
X n - f ( X n ) - r n G 1 d n G 1
و
X n G 1 - X n G d n G 1 ,
تا اينكه سرانجام حاصل دقيق دلخواه به دست مىآيد .
اين نوع الگوريتم تكرارى قرنها پيش از زمان جمشيد كاشانى به‌كار مىرفت و براى طبقه‌بنديهاى
f ( x )
كلا معتبرتر از اين چند جمله‌اى خاص بود . ليكن كار او نمونه بسيار ظريفى بود چون يگانه عمليات موجود در اينجا جمعها ، تفريقها و ضربها بود . از اينها گذشته ، اين فرآيند سريعتر حاصل مىشد و هر تكرار در نتيجه نهايى ، بيش از يك رقم ايجاد مىكرد « 1 » .
( 1 ) - اين محاسبه به‌طور كامل در يوشكوويتچ ، صص 24 - 319 تشريح شده است .